Se consideră dreptele de ecuații $\displaystyle d_1: y=2x-1$, $\displaystyle d_2: y=-x+5$ și $\displaystyle d_3: y=x-a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Dacă dreptele $\displaystyle d_1$, $\displaystyle d_2$ și $\displaystyle d_3$ sunt concurente, atunci numărul real $\displaystyle a$ este egal cu: A. $\displaystyle -5$ B. $\displaystyle -1$ C. $\displaystyle 1$ D. $\displaystyle 5$

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(3,5)$ și $\displaystyle N(4,4)$. Punctul $\displaystyle P$, situat pe axa $\displaystyle Ox$, pentru care punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ sunt coliniare este:

5. In reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(0,a)$, $\displaystyle B(3,4)$ și $\displaystyle C(6,0)$, unde a este un număr real. Dacă $\displaystyle ||\vec{OB}|| cdot ||\vec{AC}||$, atunci atuncunul real a este egal cu: A. -8 B. $\displaystyle -\frac{9}{2}$ C. $\displaystyle \frac{9}{2}$ D. 8

5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle M$ mijlocul laturii $\displaystyle BC$ și punctul $\displaystyle N$ mijlocul segmentului $\displaystyle AM$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{AN} + \vec{BN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,1)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle AC \perp OB$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i}+(5a-1)\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(a,a+1)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A$ se află pe dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x-1$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2, -2)$, $\displaystyle B(4, -4)$ și $\displaystyle C(4, 0)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$, $\displaystyle B(3,3)$ și $\displaystyle C(7,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(2,5)$ și $\displaystyle C(6,1)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(5,1)$, $\displaystyle B(-1,3)$ și $\displaystyle C(8,10)$. Determinați ecuația dreptei paralele cu dreapta $\displaystyle AC$ și care trece prin mijlocul segmentului $\displaystyle CD$, unde punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,4)$, $\displaystyle B(-2,6)$. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că, dacă $\displaystyle C(a,b)$, atunci $\displaystyle AC=CB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ astfel încât $\displaystyle \vec{AM} = 2\vec{AB}$, $\displaystyle \vec{BN} = 2\vec{BC}$ și $\displaystyle \vec{CP} = 2\vec{CA}$. Știind că $\displaystyle O$ este un punct oarecare din plan, arătați că $\displaystyle \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,3)$, $\displaystyle B(2,5)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle AC=2AB$.

Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ şi punctul $\displaystyle O$, intersecţia diagonalelor acestuia. Arătaţi că $\displaystyle \vec{OB}+\vec{OC}=\vec{AB}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră trapezul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB \parallel CD$ și $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(4,5)$ și $\displaystyle D(-3,2)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle MN$, știind că segmentul $\displaystyle MN$ este linia mijlocie a trapezului $\displaystyle ABCD$.

5p 5. Se consideră punctul $\displaystyle G$, centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$ și punctul $\displaystyle M$, mijlocul segmentului $\displaystyle AG$. Demonstrați că $\displaystyle 6\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$ și $\displaystyle H(3,2)$. Știind că $\displaystyle H$ este ortocentrul triunghiului $\displaystyle ABC$, determinați panta dreptei $\displaystyle BC$.

5. În planul triunghiului $\displaystyle ABC$ se consideră punctul $\displaystyle G$, astfel încât $\displaystyle \vec{3AG} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Demonstrați că $\displaystyle G$ este centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$.