a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{\ln(f(x)-2)}{x-1}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2016))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x))=(2015-x)(2016-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))$ are valoarea minimă.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $\displaystyle g:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-5}{x-2}$.

a) Pentru $\displaystyle a=0$, calculați $\displaystyle f(-1) \cdot f(4)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \u211D$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (-1, 4)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1}f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)+f(1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \geq 0$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(1) + f(2) + \dots + f(n)\right)^n$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1-f(x)}{x} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = 1 - \frac{2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n} dx = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)(x^2+1)}{(x^4+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{4} \leq f(x) \leq \frac{1}{4}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2017}{2016} \le f(x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2016]$.