a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx = \frac{3}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} \ln x dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,a] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \pi \left(\ln a + \frac{7}{2}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(e) < \frac{7}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^2 f(x) dx = e(e - 1)$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = 2$ are aria mai mică sau egală cu $\displaystyle e(e - 1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x-2} = 12$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: x \in [0, +\infty) \rightarrow f(x) \geq 6$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, +\infty)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este egală cu inversa ei.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{5}^{10} (x-4)f(x)\,dx = \ln 5$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[5,6]\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)(x-3)-(x^2+2x-11)}{(x-3)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\pi)>13$.

a) Arătați că $\displaystyle \int e^x dx = e^x+c$, $\displaystyle c \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx = 3a$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^3}=1$.

c) Determinați abcisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y=4x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-2x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^{x}(f(x)-x^3-x^2)+1)dx = 3e^2+1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.