a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=xe^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)- \frac{1}{x}) dx = 3$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2016$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este mai mic decât $\displaystyle 14\pi$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -16\le f(x)\le 16$, pentru orice $\displaystyle x\in [-2,2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3x^2-1)dx$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+3x+3)f(x)dx=6$.

b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)f'(x)dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = -2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2) = -3$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -9$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică în intervalul $\displaystyle (0,1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3x}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -2$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,+\infty)$.