Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0\le f(x)\le 1$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x}$ și șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x+a+1, & x \le 1 \\ x^2+a^2x, & x > 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x})$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2+x-1, & x \le 1 \\ x+1, & x > 1 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)+f(2)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \le 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = xe^x - e^x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x ℙ \in \u211D$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (-2,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x-1$ și $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 - x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (F(x)-x^2)dx = \frac{n^3}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2\sqrt{3}) < f(3\sqrt{2})$.