a) Arătați că $\displaystyle f'(\frac{1}{e}) = 3e^3$.

b) Determinați ecuația asimptotei către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați inegalitatea $\displaystyle x^2e^x \le e^x$, $\displaystyle x>0$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x \cdot e^{x}}{(x+1)^{2}}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{e}{2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Să se determine intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Să se compare numerele $\displaystyle 3^{\sqrt{5}}$ și $\displaystyle 5^{\sqrt{3}}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}, \forall x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(f(x)\right)^{\frac{1}{x}}$.

c) Demonstraţi că pentru orice număr real $\displaystyle a \in (1, \sqrt{2})$ ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale strict pozitive.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Fie $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ numere reale pozitive astfel încât $\displaystyle a+b \ge 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(a) + f(b) \ge 2$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) - g(x)) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int (x+1)e^{x^2+x} dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ care verifică relația $\displaystyle F(e) = \ln(e+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(x^2+4)}{(x^2+x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

a) Demonstrați că $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{g(x)}{f(x)} dx$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle h: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = f(x) - g(x)$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este bijectivă.