a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctul de extrem al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x-x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)+f'(1)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{e^x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{4}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, 0)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int \frac{(x+1)^2}{x} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int \left(f(x) - \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (3x-x^2) \cdot e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in [0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x)$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{4x\sqrt{x}}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le \frac{1}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \ge 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f^2(x)}{\ln x} dx$, $\displaystyle x > 1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(e) = 0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^3 f^2(x) dx = \frac{e^2+1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - 3e^x + 2}{(e^x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} - \{0\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are exact două puncte de extrem.

a) Arătați că funcția $\displaystyle g: (-\infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = -\frac{2}{3}(2-x)\sqrt{2-x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: (-\infty, 2) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ al cărei grafic trece prin punctul de coordonate $\displaystyle (1, \frac{1}{3})$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(-x^2) - f(x^2)}{f(x^2 - 2)} dx$, $\displaystyle x \in (0, 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2x \ln(x-1) + \frac{x^2-4}{x-1}$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, oricare ar fi numărul $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(-1) < F(-\frac{1}{2})$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = xf(x) + F(x)$ cu proprietatea că originea reperului cartezian $\displaystyle xOy$ este punct pe graficul funcției $\displaystyle G$.