a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-2x-2)dx = \frac{14}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2026$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > -1$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)(f(x)-2x^2)dx = a^2$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

b) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că pentru $\displaystyle m \in (0, \frac{1}{e})$, ecuația $\displaystyle f(x)=m x^2$ are exact 2 rădăcini reale distincte.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = -3$.

c) Determinați asimptotele oblice ale funcției.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x) dx$.

b) Demonstrați ca orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = -\frac{10}{9}$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int \ln x \cdot f(x) dx$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) \cdot F'(x)$, pentru care $\displaystyle G(1)=2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2025 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=17$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția bijectivă $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\log_2 (x-1)-4$ verifică relația $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) + f(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(2x+3)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ astfel încât tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ să fie paralelă cu dreapta $\displaystyle y=2x+1$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) + f(y) \ge 10$, $\displaystyle \forall x, y \in [1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = \frac{11}{6}$, unde $\displaystyle f(x) = (x^2+x+1)' \cdot e^{-x}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \displaystyle \int_0^a f(x) dx = a \cdot e - 2$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că graficul funcției $\displaystyle F$ are două puncte de inflexiune.

a) Calculați $\displaystyle \int (x^2+1) \cdot f(x) \, dx$.

b) Determinați funcția $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f'$, pentru care $\displaystyle G(1) = \ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx$.