a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2x^2+1}{x^2+x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d: y = 2x-1$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*5=7$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Fie funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to (1, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \cdot y) = f(x) * f(y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 11 \le f(x) \le 15$, pentru orice $\displaystyle x \in [3,5]$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F(x) = \frac{4x\sqrt{x}+1}{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int f^2(x) \cdot g(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x((x^2+1)+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

c) Determinați valorile funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (F(x) - x^3 + 6x^2 - 2x) dx = 2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle F$ pentru care $\displaystyle f(1)=7$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{F(x)+x}{x} dx = 8 + \ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x^2+x-1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Să se determine valorile lui $\displaystyle a, a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Să se calculeze $\displaystyle \int_1^e (x f(x) + F(x))dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x} f(x) dx = \frac{19}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea că $\displaystyle F(0) = 5$.