a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x+1)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+x+1 \le \frac{3}{e^{x+2}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, -1]$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(g(x)-x^3-x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x}dx = a - \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (-\infty, 1)$.

b) Scrieți ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții în intervalul $\displaystyle (-\infty, 1)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x) = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_1^x f(t) dt$.

c) Determinați acea primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ al cărei grafic conține punctul $\displaystyle A(\sqrt{3}, \ln 2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 0 < f(x) + f(2-x) \le \frac{4\sqrt{3}}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, +\infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{x^2-x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\frac{e^x f(x)}{x^2+1}$.

c) Aflați intervalele de concavitate și convexitate ale funcției $\displaystyle F$.

a) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă.

b) Arătați că $\displaystyle f(x * y) = f(x) \cdot f(y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in G$.

c) Demonstrați că dacă $\displaystyle x, y \in G$ și $\displaystyle x * y \in \mathbb{Z}$, atunci $\displaystyle y=-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) - f''(x) = 1-x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Stabiliți intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x - (1-x) \leq 1$, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle f$, a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A(e, e+1)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x \cdot e^x} dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)+f(y) \ge 6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (-1, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x+3)^2dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este concavă.