a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln(x+1)}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de intersecție al graficului cu axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5^{\sqrt{6}} < 6^{\sqrt{5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+1)-(x^2-x+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați asimptotele spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle g:(-\infty, 0) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x)}{f(x)}$.

c) Stabiliți intervalul pe care funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) - \frac{2}{x^2}) dx = \frac{38}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \cdot \ln x dx = \frac{(e \ln e)^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$ este egală cu $\displaystyle 2(6 + \ln a)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{xe^x}{(e^x+1)^2} \cdot x+e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x - y \ge \ln \frac{x+1}{y+1}$, oricare ar fi $\displaystyle x, y > 0, x \ge y$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = \frac{1}{2}\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+4}$, $\displaystyle \forall x,y \in (1, \infty)$.

b) Determinați elementele simetrizabile din $\displaystyle G$ în raport cu legea „$\displaystyle \ast$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to (1, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{2x+1}$ este bijectivă și $\displaystyle f(x \cdot y) = f(x) \ast f(y)$, $\displaystyle \forall x,y \in (0, \infty)$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

b) Să se demonstreze că funcția este crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

c) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x+1}{2x} f(x)dx$.

b) Să se determine $\displaystyle a,b,c$ astfel încât $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se studieze monotonia funcției $\displaystyle F$, dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x + \frac{1}{x}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, 4)$.