a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\ge -1$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^3}(x+2)$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)\ln x dx = \frac{2e^3+1}{9}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \in (0,\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(\sin x)+f(\cos x))\operatorname{tg} x dx = \ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - f(x)}{f'(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle 5 \le f(x) \le 6$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) + x^2 - 3) dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, care verifică relația $\displaystyle F(0) = 2$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Să se demonstreze că $\displaystyle f'(x) + f(x) = x^2 + 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

b) Să se determine ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle f(x) \ge 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (\frac{f(x)}{x} + g(x)) dx$.

c) Determinați numărul $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{a} g(x) dx = \frac{\ln a}{2}$.

a) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$ funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-1}{f'(x)}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln(x-1)-\ln x+1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ nu are soluții reale pentru niciun număr întreg $\displaystyle m$.

a) Folosind eventual faptul că $\displaystyle x^2+x+1 \ge \frac{7}{2}$ pentru orice $\displaystyle x \in [2,\infty)$, arătați că $\displaystyle \int_2^e f(x)dx \le 1$.

b) Demonstrați că dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ atunci $\displaystyle F(e) < F(3)$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\pi}{18}\sqrt{3}$.

a) Să se calculeze $\displaystyle f'(x)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) - f(-1) = 3$.

c) Să se arate că funcția este crescătoare, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.