Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că derivata funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^4}{x^2+1}$.

c) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x+2\ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (f(x)-1)\ln x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 6x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2012) + f(2014) \le f(2013) + f(2015)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x(x-3)^2 \le 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [-3,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^2+1)f(x)dx=0$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{2}\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=m$, are aria egală cu $\displaystyle \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^2}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle -1 \le f(x) \le 3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, 1]$.