a) Arătați că $\displaystyle F_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F_1(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+4)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$ a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A\left(2, -\frac{\pi}{2}\right)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_n$ este bijectivă.

a) Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x-1$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{2x} \ge 2x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{x^3}{3}+x+C$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Determinați funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$, cu proprietatea $\displaystyle G(1)=\frac{\pi}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o funcție descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ și o funcție crescătoare pe $\displaystyle [1, \infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ge 1+\ln x$ pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle g$ a cărei reprezentare grafică conține punctul $\displaystyle O(0,0)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$.

b) Se consideră funcția injectivă $\displaystyle f: G \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+x}{2-x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in G$.

c) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{30} = \frac{60}{31}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-7}{(x+1)^2(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției.

c) Demonstrați $\displaystyle f\left(\frac{1}{2024}\right) + f(2024) \ge \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$, $\displaystyle f(x) \ge 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)(x^2+1)dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle F\left(-\frac{1}{2023}\right) < F\left(-\frac{1}{2024}\right)$, unde $\displaystyle F:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1) - f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.