Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-2x}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle (2x+1)\sqrt{e} \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4x+5}-x-2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că imaginea funcției $\displaystyle f$ este intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \ln x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\frac{1}{e}, \infty\right)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{1}{e}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 xf(x) dx = \frac{32}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) - \frac{1}{x} dx = e^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$, este egală cu $\displaystyle 4 + \ln a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}$, definită prin $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 2}$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \operatorname{arctg}x$, $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = \int_0^x F(t) dt$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x), x \in (-1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx = \frac{\pi}{8}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \int_1^x f(t)dt$.

Fie funcția $\displaystyle f_{p,q}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_{p,q}(x)=(\sin x)^p - (\cos x)^q$, unde $\displaystyle p,q \in \mathbb{N}^*$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_{1,1}$;

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f_{3,1}(x)dx$;

c) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a funcției $\displaystyle f_{2022,2023}$. Demonstrați că există un număr real $\displaystyle k$ astfel încât $\displaystyle F(x+2\pi)-F(x)=k$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ admite $\displaystyle 2$ puncte de extrem $\displaystyle x_1, f(x_1)$ și $\displaystyle x_2, f(x_2)$ și calculați $\displaystyle f(x_1) + f(x_2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-2}{x-2}, & \text{dacă } x < 1 \\ 2 \ln x - 1, & \text{dacă } x \ge 1 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x^2-2}{x-2} \, dx, x \in (0,1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ admite primitive.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2x}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $\displaystyle 1$.

c) Demonstrați că funcția este crescătoare pentru orice $\displaystyle x \in [4,\infty)$.