a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^{x^2-x}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \sqrt{e}$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=mx$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{\ln x} dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle F$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9-x^2}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 9f(2x) - f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x - 2)dx = 16$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 (f(x) - x - 2)dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \ln(2e^6)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{x}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Fie funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f'(x)$. Determinați imaginea funcției $\displaystyle g$.

a) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3^{\sqrt{5}} < 5^{\sqrt{3}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^{x^2}} dx = e$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{e^{x^2} - f(x)}{x^2} dx = \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2+\ln x$, $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

c) Calculați următoarea limită $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \cdot \ln x}{x}$.