a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2+x-3),$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}.$

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx = 3.$

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{8}{f(x)}dx = 1.$

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}.$ Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=4.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)(x-2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^4+5\geq 4x^3+12x^2$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 4\text{ln}x \cdot \frac{f(x)-4x^3}{x}dx=e^2+9$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(e^x-1)e^{-4e^{3x}}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}\text{ln}\frac{3e}{e^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3+6\sqrt{x})dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx = 12$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x) \cdot \sqrt{x}$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \left(f(x)-x-\frac{\ln^2{x}}{x}\right)dx=12+\ln3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-6-\frac{1}{x}}{x}dx = \frac{\ln^3{e}}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-6}{x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele cu ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ este egală cu $\displaystyle m\left(1-\frac{2}{e}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{2}{5}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(3-x)(2-x)}{(x^2+6)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x \cdot f(x)) = 2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0$.