a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \sqrt{x+3}) dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{f(x) - 2x} dx = 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,6] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x}{\sqrt{x+3}}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle 9\pi \ln 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 4 = \frac{4}{3}$.

b) Determinați $\displaystyle a \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle [1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $\displaystyle M$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle \ast$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4}{x(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = n$ nu are soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)-f(y) \le \frac{3-e}{3e}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x \le 0 \le y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)+\ln x - 4}{x^2-3x-3} = \frac{4}{3}$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{4x^2-1}{x} \ge \ln(2x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx = e+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)-e^x} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = 5+\frac{a}{e}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)\ln x}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x^2}(x^2 + 3x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + f(x)}{x^2 - 4x} = \frac{1}{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x^2}(x^2 + x - 1) \le 5$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{2(x+2)}{(x^2+4x+5)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^2-1)f(x)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5f(x)+f'(x)\le 2$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+1)^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții.