a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3-x}{e^x}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e^{-1} \le f(x) \le 1$ pentru orice $\displaystyle x \in [1,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-8x^3}{x^2-5x} = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x}{\ln x} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \le -\frac{21}{4}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1]$ și orice $\displaystyle y \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x)\sqrt{x} dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x) dx = \frac{14}{3}-2\ln 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt{2}}{f(x)}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \pi \ln(4e)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'\left(x\right) = \frac{4\left(x^3 - 1\right)}{x^2}$, $\displaystyle x \in \left(0, +\infty\right)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 6 \le 2x^2 - 1 - \frac{4}{x} \le 33$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[1, 4\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3 - \ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

c) Determinați cel mai mare număr întreg $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+2)(4-x)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -4e^2 \le f(x) \le e^3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{2 \ln x}{x} \right) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-6x)dx = \ln^2 e - \ln^2 1 = 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^2} \left( \frac{f(x)}{x} + f'(x)\ln x \right) dx = af(e^2)$.