a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+6}{x^3}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x)-\ln x)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle 4f(x)-1\ge \ln 16$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = \frac{18}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 f(x) - (3x) dx = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a (f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = 9(a-2\ln 2)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ unde $\displaystyle f(x)=(2x^2+3x+2)/(x^2+4)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x^2+5x+4)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{e^{32}}{e^{x^2+4}} \le \frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x\in[-4,0]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x+1)f(x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^5 (3x^2-f(x))dx=2\ln3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x}-1)$. Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (a+bg(x))g'(x)dx=4a$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2-2x-3)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{e^x}{x-2} \ge 3$ pentru orice $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-\ln x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-x}{x} dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^n f(x) dx = 2+3\ln n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-3\ln x}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3+1)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^3+1}dx = \ln(e^2-1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx \le 1 - \frac{2}{e}$.