a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+1)f(x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 f(x) \ln 2 dx = \ln 2$.

c) Determinați $\displaystyle m \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^m \frac{e^x f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx = 6$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle x^2-x \ge 2\ln(x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x)dx=12$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3}dx=\frac{1}{4}$.

c) Arătaţi că aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3-1}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 3\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.