a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x+x^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de coordonate $\displaystyle (a, f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln y}{y^2} < \frac{\ln x}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (1, +\infty)$ cu $\displaystyle x < y$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)-x^3) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x^2+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-4)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(1-x) \ge f(1+x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2-2)e^x dx=4$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f'(x)}{f(x)}e^{f(x)-1}dx=63$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 5 = 3$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f : M \to M$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x-3}+3$. Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \circ f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)e^x - e^x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle x^2+x-2 \le 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^{2}}$, $\displaystyle x\in(4,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)+x$ este crescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 4$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții.