Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3 x+7$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+2x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}+x^{2}+2014$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-2x) d x$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) f(x) d x$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(-x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x+1}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x+1}\right) dx$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{4}{3} - \ln 2$.

c) Determinaţi numărul natural neul $\displaystyle n$, ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} + \ln (n^2+n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)-3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x-2}{f(x)}dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2015} \frac{1}{f(x)}dx \le \frac{1}{4}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x y + 4 x + 4 y$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x+4)(y+4) - 4$ pentru oricare numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 * (-4)$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * x = -4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ↔ ↔$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^3+x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 e^x \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle 4+\ln a$.