a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+9) f(x) dx = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{8x} f(x) dx = \frac{3}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx = 6(4 + a\pi)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = +\infty$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (e, 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{e-1} \frac{f(x)-6x}{x+1}dx = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x^2)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle a\pi + \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)+f(x^2) \ge \frac{17}{3}$ pentru orice $\displaystyle x \in (1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)} dx = 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \ln(e^x) dx = \frac{e^2-5}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(e^x-1)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = mx + n$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+3} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle 2\pi f(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{28x}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+4x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x \cdot f'(x)}=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x+4}(x^2+2x-2) \le 6$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.