a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6(1-x^2)}{x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^3+3}}$ pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1, f(1))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x^3+3} \ge \frac{\sqrt{x}}{x^2+5}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)dx = e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx = -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 F(x)f'(x)dx = \frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-x-6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \leq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{x^2-x-6}{x^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - e^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(2f(x)-1)dx = \frac{5}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x)-x) \cdot f(x)dx = \frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x-\frac{4}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\operatorname{tg}(x)$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}(3f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle g:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=e$ are aria strict mai mare decât $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.