a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+5x-4}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(4x+5)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+5 \ln x}{x-2} = -2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^2+x+\frac{5}{x} \ge 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = 2-e$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n>2$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{x}{f(x)} dx = \frac{1}{2} \ln \frac{n-1}{8}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x\sqrt{x}}=10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5$, pentru orice $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x^2}{x^3+4} = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -32 \le 2x^3 - 3x^2 + \frac{1}{16}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+3xe^x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)-x}{f(x)-x^2}dx = a \ln\left(e+\frac{1}{2}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^{x^2}f(x)dx=12$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{e^{x^2}f(x)}dx = \frac{a-\sqrt{2}}{3}$.