Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{2} \le \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = \log_2(2^{x^2}+2^{y^2}-2^{x^2y^2}+6)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_2( (2^{x^2}-2)(2^{y^2}-2)+2)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

c) Arătați că $\displaystyle x*x*x < 3x$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot e^x = e^{-2}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{-x}}-1$ are un singur punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln(x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x}dx = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(\sqrt{7}) < F(3)$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_2^3 f(x)dx = m(4 \ln 2-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\ln(x^2+1)\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} + x^2\left(\frac{2}{x^2+1}\right)$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(n, f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{5}x+1$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2\ln x}{x^3}$ și funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, o primitivă a lui $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2\left(f(x) + \frac{2\ln x}{x^3}\right) dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt[4]{5}} x\cdot f(x^2+3) dx = -\frac{5\ln 2}{128}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_e^{e^2} x \cdot F(x) dx = \frac{a^2-1}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x - \frac{x^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(e^x-1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\le f(x^2)$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4x^2+1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = 2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^3+5x^2-10x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=10x^2(x+2x-3)$, x real.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^3+5x^2-10x+3 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+1+1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) dx = 12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)-6x dx = 2 \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x+1} dx = \frac{a(e^2-1)}{2}$.