a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5} dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-4) dx = 4\ln 2$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\to\infty} I_n = +\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (\sqrt{x^2+1}+2)^2-2\sqrt{4x^2+4x+2} \le (x-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^2 dx = \pi-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x} dx = 2\sqrt{2}-2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x^2)}{x} dx = \ln(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(2x)}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-2x^3-2x - 2x + 2x^3}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-4x}{(x^2+1)^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x + \frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}}{e^x + \frac{1}{x+1}}$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ a graficului funcției $\displaystyle f$. Deoarece $\displaystyle x \in [-1,1] \implies y \le 0 € f'(x) \ge 0$, f este crescătoare pe $\displaystyle [-1,1] € f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$. d) Calculați $\displaystyle \frac{2-e}{2e} - e € f(x) \le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x + \ln x \ge \sqrt{e} + \ln \frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{24(2x^2-1)}{(2x^2+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xf(x)\ln x) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3)dx = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-6x} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(\sqrt{x})dx = \frac{a^3}{5}$.