a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -6(x-1)(x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră punctele $\displaystyle A(-2, f(-2))$ și $\displaystyle B(0, f(0))$ din graficul funcției $\displaystyle f$. Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ au pantele egale.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)+x) dx = \frac{e^2+1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) + x dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx = e^{-1}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^2 f(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)dx = a-\ln(a+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{e^x-e}$.

c) Arătați că $\displaystyle (2-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^5+2)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)dx=4$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 f(x)f(-x)dx = 4(1-\ln 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2f(x)}{x-1} = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2-x-2$, pentru $\displaystyle x \in \u211D$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{21}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,2)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{x^2+2f(x)} dx = \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} (x^2+1)f(x)dx = 24$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{x^2+5}dx$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.