Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x+2}{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+4) f(x) d x=6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{n} f(x) e^{-x} d x<1$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle e^x(f(x)+f'(x))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi} x f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx \ge \int_0^{\pi} f^2(x) dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x+a(x+1)$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ este convexă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = 2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x^2)dx \le \int_0^1 f(x)dx$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x-1}{x^2+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+1)-2x(e^x-1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că graficul funcţiei $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) < f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:[0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{3} f^2(x) dx = 4$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_{0}^{1} f(e^x) dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} dx = 2e^2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-8 \geq 4e^{2-x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(x-2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [-2,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^2-x-5\ln x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(6x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+5\ln x}{x f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^2-x-2 \ge 5\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.