Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=2021$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -1 + \frac{3}{x} + \frac{4\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 7(x-3)(y-3)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle x*3=3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, astfel încât $\displaystyle x*x*x=-46$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{5^x}{7}+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x)*f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x+1+\sqrt{x^2-x+1}, & x \in (-\infty, 0) \\ x\ln(x+1), & x \in [0, +\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a<0$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2\sqrt{x}-\frac{1}{x}$ și $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1+x\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{4} g(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \in (0,1)$, pentru care $\displaystyle \int_{m}^{1} f^2(x)g(x)dx = \frac{1}{3}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+y^2-27}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2021 \ast (-2021) = -3$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+27}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ast f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+3}{x^6+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2x+1} f(x) dx = e-1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{x(x+2)} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{e-1}{2e^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{1}{x} + \ln x$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,0)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^n + 1}{x^2 + 1}$, unde $\displaystyle n$ este număr natural nenul.

a) Pentru $\displaystyle n=3$, se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x^2+1)f(x)$. Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ pentru care $\displaystyle G(0) = 2021$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ pentru $\displaystyle n=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4} \le \int_0^1 f(x)dx \le 1$ pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,1) \cup(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in(-1,1) \cup(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul intersectează axa $\displaystyle O y$.

c) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(f(x)+1)$.