Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(- \infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (- \infty, 2)$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \le -\frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+1}{x} = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)= \begin{cases} e^x+a, & x<2 \\ x^2, & x=2 \\ 2x+b, & x>2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Pentru $\displaystyle b=2$, rezolvați în mulțimea $\displaystyle (2, +\infty)$ inecuația $\displaystyle (f(x)-1)(2^x-16) \le 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-6, & x \le 2 \\ x^2-a, & x > 2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, rezolvați ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, stabiliți semnul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} x-2, & x<2 \\ x^2-4x+4, & x\geq 2 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)\cdot f(3)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0$, pentru orice $\displaystyle a<2$ și $\displaystyle b>2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}; f(x) = \frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x} + \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.