a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f^2(x) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \ln(f(x)) dx$.

c) Demonstrați că există un singur număr real $\displaystyle x \in [0,+\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f^2(t)} dt = 2021$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+4x+2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1)-f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^2+3)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1 - (x+3)\ln(x+1)}{(x+1)(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x f(x))$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează orice dreaptă paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ în cel mult un punct.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2(f(x))^3 dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x \ln(f(t))dt \ge \int_1^x \ln(4t^3+1) dt$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$.

c) Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției $\displaystyle f$, sunt concurente.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} x\sqrt{x+1}\,f(x)\,dx = 7$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\,dx$.

c) Știind că $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = 2(x+1)\sqrt{x+1}-6\sqrt{x+1}+4$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x)F(x)\,dx = 32$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) + f(-x)) dx = \frac{5}{8}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x) + f(-x)) dx = 4(1 - ln 3)$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, \sqrt{3})$, pentru care $\displaystyle \int_a^{\sqrt{3}} \sqrt{3}-f(x) dx = \sqrt{3}-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x-3)}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{30}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact patru soluții reale.