a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: (-1,0] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x+1)^x$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle x_1, x_2 \in (-1,0]$ astfel încât $\displaystyle x_1 \leq x_2$, atunci $\displaystyle g(x_1) \geq g(x_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{1}{12}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1} dx \leq \int_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)\sqrt{x^2+4}-x)dx = \frac{5}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{f(x)\sqrt{x^2+4}}dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are exact patru soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-xe^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{e^2-e+3}{2}$.

c) Se consideră $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx = \frac{5-3e}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) + \ln(x^2+1) \le \frac{5}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$, dacă $\displaystyle g(1) = \frac{3}{2}$ și $\displaystyle g'(x) = f(x)+\frac{1}{x^2+1}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \hat{3} \circ \hat{3} = \hat{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \hat{0}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=\hat{4}x \circ \hat{x}$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$, $\displaystyle x \in (-1,1) \cup (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n) \right)^n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}} (x^2+4)f(x)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x f(t)dt \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.