a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}, x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ astfel încât punctul $\displaystyle M(a,b)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x^2-8\ln x+2$ și punctul $\displaystyle N(a,c)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle h:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=8x-12$. Demonstrați că $\displaystyle b \ge c$, pentru orice $\displaystyle a \in [2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0)=0$.

b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției $\displaystyle f$ sunt concurente.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x^2(x^2-x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{2}{x^2+9}$ axa Ox și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=9$ are aria egală cu $\displaystyle 2\ln 3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} f(x)\operatorname{arctg} x dx = \frac{5\pi}{12} + \frac{3\sqrt{3}-a}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 15$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, 2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3 - 1) dx = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^{2020} (f(x) - x - 1) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, este egal cu $\displaystyle \pi \left( 2 \ln 2 + \frac{3}{2} \right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x-2} > \ln \frac{1}{x-1}$, pentru orice $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x \left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-f(x)}{x}$.

c) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+2)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+\frac{1}{x^2+2}\right)dx=\ln\frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x}dx=\frac{e^2+5}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right)dx = \ln\frac{5}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = \ln 4$.

b) Se consideră tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.