Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-3x)dx=0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-x^3)e^x dx=3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$. Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{F^2(x)}dx=\frac{25}{37}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3(x^2-3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x(x-2)$, pentru $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^3}{x-3}=-3$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4+e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-x^4)dx=\frac{e^2-1}{e}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)-e^x}{x}dx=\frac{e^2-1}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{5a^2+54}{10}+e^a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=-x^3+x+9$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\le 11$, pentru orice $\displaystyle x\in [-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) e^x dx$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a (f(x)-f(-x)) dx = \ln(2a)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5x+Lnx}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^3-9x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2019)+f(2021) \ge f(2020)+f(2022)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (f(x)+4) dx = 9$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)+5} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>0$, pentru care $\displaystyle \int_a^{a+1} \frac{1}{x^2} dx = -8$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-12x+11$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-4x^3}{x}$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle 3 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5x+\frac{1}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Demonstraţi că funcţia $\displaystyle F:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e f(x)(5x-\ln x)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{f(x)-4x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.