a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=5 x^{2}(x-3)(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -27 \leq f(x) \leq 1$, pentru orice $\displaystyle x \in[0,3]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=e$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) d x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2xe^{x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle xe^{x} \ge e^{x}-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+4)f(x)\,dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{a} f'(x) \cdot f''(x)\,dx = 2\left(\frac{1}{(a+4)^{4}}-1\right)$, pentru orice $\displaystyle a \in (-3,+\infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = e(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{g(x)}{xe^x} dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+g(x)) dx = e^e$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este $\displaystyle y=24x-103$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{F(x)} dx = \ln \frac{8}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, + \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle x=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (2, + \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2} \le \int_1^2 \frac{f(x)}{x^3} dx \le \frac{5}{18}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2020x-1)dx = \frac{1}{2021}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [1, \infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(-x) - f(x) )dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+2x-2, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)/x^3 = 3$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y = 3x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3-2x-2)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} e^x(f(x)-x^3-x^2-1)dx = -2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.