a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \sqrt{\ln x+1}-1-\sqrt{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [e,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{F(x)}{e^x} dx = \frac{10}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ astfel încât funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x(ax^2+bx+c)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Se consideră dreapta $\displaystyle d$, asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul lui $\displaystyle f$. Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,\sqrt{3}]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{f(x)}{e^x}dx = 1$.

b) Calculati $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)dx = -e^{\frac{\pi}{2}} + \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, astfel încât $\displaystyle a \ast a = a$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x \ln 2}{2^x+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{x+2} dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, pentru care $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{f^2(x)} dx = \frac{1}{n^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{n(x^n-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^n}{x} = 0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție în intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x + 1}{\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = \frac{1}{e}$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{e}f(x) + 4 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 2025$ nu admite nicio soluție în intervalul $\displaystyle [-1, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6x(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-x^3+2x^2-x-2}{x-1}=2$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=12x+2020$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3+x+2)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-x^3+2)e^x dx$.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx=m^2+1$.