Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \sqrt[3]{x^3+y^3+8}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \ast (-2020) = 2$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \ast$.

c) Știind că $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+8$ este morfism de la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, +)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=x(\frac{2}{3}\sqrt{x}-1)$, pentru $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,-\frac{1}{3})$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x(2\sqrt{x}-3) \ge -1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0,1)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y = \frac{xy}{1-x-y+2xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ \frac{1}{2} = x$, pentru orice $\displaystyle x\in M$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to(0,1)$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}$. Arătați că $\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy)$, pentru orice $\displaystyle x,y\in(0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{(e^x+x)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,f(1))$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle g'(x)+g(x)=\frac{1}{e^x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f''(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x-\frac{2x+1}{x^2+1}+x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x) dx = 3$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \left( f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1} \right) \ln x dx = e^2+a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, tangentele la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctele $\displaystyle A(a,f(a))$ și $\displaystyle B(-a,f(-a))$ sunt paralele.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - f(-x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x+\ln(2x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-\ln(2x+1)) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle F(x) \le F\left(\frac{16}{5}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^2+4x+5}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x - \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x+1}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{2x}(x-5)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle e^{2x} \le \frac{e^9}{2(5-x)}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 5)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln \frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ astfel încât $\displaystyle \int_0^x f'(t)e^{t^2}dt = \ln(\sqrt{x^2+1}e^{2x}) + \ln(a-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.