Pe mulțimea $\displaystyle M=[0, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle N=\sqrt{33}*\sqrt{31}$ este un număr natural.

b) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x=300$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{2020x}$. Arătați că $\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in [0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}$ și $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} x^2 F(x)dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-e\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x-x^e=0$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx=18$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{3\ln 2}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+2)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -(x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le \frac{f(x)}{(x+2) \sqrt[4]{e^x}} \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = -x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x-5$.

a) Determinați panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge (1-x)x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{5x-3}{x^2-x+3}, & x\in(-\infty,1) \\ x^2-\sqrt{x^2+3}+3, & x\in[1,\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,\infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+1$ și $\displaystyle g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{2x}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^4 g(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)dx=20$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}e^x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real, și $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\ln x \cdot e^x+4x+1$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât funcția $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$, calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Pentru $\displaystyle m=0$, calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x)dx$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2+3^{x}-4, & x \in (-\infty,1] \\ \frac{x^2-x}{x^2}, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.