Se consideră funcția $\displaystyle f: (1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x-1}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x-1) - \ln x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (1,+\infty)$, deci $\displaystyle f$ este injectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-\ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x^3}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e xf(x)dx=\frac{e^2-e}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x^3 f(x^2)dx=\frac{e(e-1)(e^2+e+1)}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e f(x)dx+\int_1^e e^x \ln xdx=e^e$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3-6x^2+9x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+3x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3x+5)f^2(x) dx = \frac{11}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-4}^{-1} x f(x^2+3x+5) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x f(\sin x) dx = 6-2\sqrt{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(e^x+x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{e^x+x-1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2-x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(1)+f(2)+...+f(n)+2ln n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este injectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^4+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \le \frac{\pi}{8}$.

c) Se consideră primitiva $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Calculați $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^{-x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi punctul de extrem al funcţiei $\displaystyle f$.