Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x-\ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-5,5) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{25-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 x f^2(x)dx = \frac{74}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-3}^3 x f(x)dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{1}{f^n(x)}dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \ln(x+1) - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (-10,10)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \frac{100(x+y)}{xy+100}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 0 = 3$.

b) Se consideră $\displaystyle f:M \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{10-x}{10+x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 0$. (trei de $\displaystyle x$)

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-4x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-2x-3)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2020$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$, știind că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează dreapta de ecuație $\displaystyle y=a$ în exact trei puncte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln x + \frac{1}{\ln x}$.

a) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{e}^{e^2} (f(x)-\frac{1}{\ln x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>e$, știind că $\displaystyle \int_{e}^{a} \ln x dx = 2a$.

Pe mulțimea $\displaystyle G=(1, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$, pentru orice $\displaystyle x, y \in G$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Știind că $\displaystyle (G, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:G \to M, f(x)=\sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (M, \cdot)$ la grupul $\displaystyle (G, \ast)$, unde $\displaystyle M=(0, +\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -xe^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(n)}{f(n+1)} \right)^n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+\frac{2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)dx = 2\ln 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - \frac{2}{x+1}) \ln x dx$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 2F(x)f(x)dx = \frac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a$, unde $\displaystyle F(0)=0$.

Pe mulțimea $\displaystyle G=(0,1)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{xy}{2xy-x-y+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Știind că $\displaystyle (G,*)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f: G \to M$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $\displaystyle (G,*)$ la grupul $\displaystyle (M,\cdot)$, unde $\displaystyle M=(0,\infty)$ și „$\displaystyle \cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\ln x$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați $\displaystyle m \in (0,\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle M(m,f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=2x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x \ge -\frac{1}{e}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4\ln x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=n$ are două soluţii reale distincte.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2e^x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}dx = \frac{8}{3}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x^2}f(\ln x)dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx=2(e-3)^2$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.