a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m \leq 0$, demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este surjectivă.

a) Arătați că $\displaystyle lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=-3$.

b) Calculați $\displaystyle lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x+1}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +∞$ la graficul funcției $\displaystyle g: (0, ∞) → ℝ$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^2-5x+4}{x}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-2}{x+3}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} - 1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(1-x)(2x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5 \ln x \le x^2+3x-4$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4-x}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [5,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-3 \le e^x-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2 - 3x + 1)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(2) + f(3) + \dots + f(n)\right)^{n}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)}dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

c) Arătați că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}dt = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(f(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=3^n e-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.