Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} - \frac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră funcțiile $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x-1}{x+1}$ și $\displaystyle h:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $\displaystyle g$ și $\displaystyle h$ nu au niciun punct comun.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln x^e$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x=x^e$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{3}{e^2}-\frac{6}{e}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 2$, știind că $\displaystyle \int_1^a \frac{2}{x^3 f(x)} dx = 3 \ln 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-5}{x^2+5}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(1-x^2)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f.$

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = (x-2)e^x + 2019$ o primitivă a funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{e}.$

b) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f.$

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 F^2(x)f(x)dx.$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+5x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x+9}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+x+3}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \leq (x+3)^2e^x \leq 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^3}$, axa $\displaystyle Ox$, dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a^2$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 5$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=2m-6$ pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Calculați $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x_1 = 1-\sqrt{2}, x_2 = 1+\sqrt{2}, x_3 = 1+m$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=7x^2-5x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=7(2x-1)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle L = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq \frac{52}{49}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[-\infty, \frac{1}{7}\right]$ și pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{7}, \infty\right)$