Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{2f(x)}{e^x} dx = e^2-1$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)dx = \frac{e^a}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln (x^2+x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x+1)}{x^2+x+1} + \ln(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle (a, f(a))$ care este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{7}x+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x-1}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinaţi abscisa punctului situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcţiei $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie $\displaystyle y=x$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) < 0$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=12$.

b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Demonstraţi că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}dt = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \frac{97\pi}{10}$.

c) Determinați numărul $\displaystyle m \in (1, \infty)$, știind că $\displaystyle \int_1^m (f(x)-x^2)dx = \frac{1}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(2x-1)e^{x}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,4e^{-2})$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Pe mulțimea $\displaystyle G = (-2,2)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{4x+4y}{4+xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

b) Determinați $\displaystyle x \in G$, pentru care $\displaystyle x * x = \frac{8}{5}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to G$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(xy) = f(x) * f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{x+1} - 2\ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{x+1} - \frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+ \cos x) \leq \cos x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \pi)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)e^x - 3) dx = 6$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe intervalul $\displaystyle [-3, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle 4-6e^{-n}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3-3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 7$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-6x-7)dx=11$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{x+1}{f^2(x)}dx$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$ are aria mai mare sau egală cu $\displaystyle a\sqrt{7}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{2x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{x}-\ln x \geq 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.