Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{7}{4}$ și $\displaystyle f(x) \le 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+12x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-12x-5) dx = 0$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{f(x)-12x-5}{x-2} dx = \frac{\pi}{8}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(mx)}{f(x)} = m^2-m$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-ax+2a-4, & x \in (-\infty,2) \\ 2^{x-1}-2, & x \in [2,+\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4^x-1}{(1-2x)^2}=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a < 3$, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,3)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{7}{2}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2e^{2x^2-\sqrt{x}}\le\frac{3}{8}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le\int_0^1 (x^n f(x))dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{x^2-6x+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-6)e^{x^2-6x+9}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x-3)^2 \le 4\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty,3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x^2-4x+1, & x \in (-\infty,1) \\ \frac{\ln x}{\sqrt{x}}, & x \in [1,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^e f(x) dx=2(4-\sqrt{e})$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^{n+1}} f(x) dx = \frac{7}{3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-6x+10$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x → 1} \frac{f(x)-5}{x-1} = 3$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(0,9) + f(1,1) \geq 10$.