Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că punctul $\displaystyle A\left(\frac{1}{2},3\right)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e \le f(x) \le 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2+2x+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \ln x) dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = \frac{3e^2+4e-4}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle a^3+a^2+a-2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x o y = 8(x+y+1)+1$.

a) Calculați $\displaystyle x o 8$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x o x = 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x eq \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle f(0) - \frac{1}{3}$.

c) Ecuația tangentei este $\displaystyle y - f(0) = f'(0)(x-0)$, adică $\displaystyle y = \frac{1}{3}x + 1$. Determinați intervalele de creștere/descreștere ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$ pentru $\displaystyle x \to \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, \infty)$ este funcție crescătoare.