a) Arătați că $\displaystyle f(-2) \cdot f(5)=-28$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle (p+1)\cdot(q+1)<0$, atunci $\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1+2e \int_1^e f(x)/x^2 dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x, x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^{-x} dx = -\frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^3 f(x)dx \le 20$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)-\ln x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)F(x)dx = \frac{e^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x-2} - x + 1 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} x f(x)dx = 1$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,\frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu are puncte de inflexiune.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)f(x)dx=1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{e^x}f(x)$.