a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x}{2} + \ln x \ge 1 + \ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le 8$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle \frac{127\pi}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - \ln x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1) f(x) dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x(f(x)+f(-x))dx = 0$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria mai mică decât $\displaystyle \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -2e \le f(x) \le \frac{6}{e^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x+1}{\sqrt{x}}f(x)dx = \ln \frac{3}{2}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m > 0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{x}(x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 1-\ln \frac{m+1}{m}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = e^2+2x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx = 1 + \frac{2a^3}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(3x+1), x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(n)\right)^{2n^3}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^3}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-6,-3)$, atunci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul $\displaystyle (-3,-1)$.

a) Pentru $\displaystyle a=7$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=x+2$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ nu admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$.