a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2018(x^{2017}+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,2020)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care trece prin punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x (x^2-f(x))dx$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2 (\ln x)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x > x-1$, pentru orice $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x+2016)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [-2015, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+6x+2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x+2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(1)=9$, pentru orice $\displaystyle x \textrm{e} [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(e^x-x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^0 (x+2)^n dx = \frac{2^{n+1}}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

b) Pentru $\displaystyle n=1$, arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^x dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{242}{n+1}$.